ラプラス変換ビジュアライザ
Laplace Transform Visualizer
時間領域 f(t) と 複素 s 平面 F(s) の対応をインタラクティブに体験する教育用デモ
① 変換ペア
② 極配置 ⇄ 時間応答
③ 定義積分の収束 (ROC)
④ システム応答 H(s)
変換ペアを選択
右図 = s 平面上の |F(s)| をlog濃淡で表示。× が極（F→∞）、○ が零点（F=0）。極が虚軸 jω 上にあると振動、左半平面にあると減衰します。
時間領域 f(t)
s 平面 |F(s)|（σ = 実部, jω = 虚部）
s 平面上の
極（●）をドラッグ
して動かしてください。虚軸から離すと共役対が自動追加され、時間応答 h(t) が即座に変化します。
＋ 極ペアを追加
リセット
安定
実軸上の極 → 単純減衰 / 左半平面の複素対 → 減衰振動 / 虚軸上 → 持続振動 / 右半平面 → 発散（不安定）
極配置（s 平面）
インパルス応答 h(t)
関数 f(t)
e^(−t) （指数減衰, a=1）
u(t) （単位ステップ）
sin(t) （正弦波）
σ（s の実部） =
0.50
ω（s の虚部） =
2.0
F(s) = ∫
0
∞
f(t) e
−st
dt
被積分関数 = f(t)·e
−σt
·cos(ωt)
∫
0
T
（面積, T=25）=
—
σ が収束領域(ROC)の境界を超えると e^(−σt) の重みで面積が収束。境界を下回ると振幅が発散して積分が定義できません。
被積分関数 f(t)·e
−σt
（包絡線 = ±f(t)e
−σt
）
伝達関数 H(s)
1次系 1 / (τs + 1)
2次系 ωn² / (s² + 2ζωn·s + ωn²)
時定数 τ =
1.0
s
減衰比 ζ =
0.30
固有角周波数 ωn =
2.0
rad/s
入力 u(t)
ステップ入力
インパルス入力
正弦波入力 sin(t)
出力は RK4 で時間積分。2次系では ζ<1 で減衰振動（極が複素）、ζ≥1 で過減衰（極が実軸）になります。
入力 u(t) と 出力 y(t)